DIAGRAMAS DE VENN

                            DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemática, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U.

Con los diagramas de Venn es posible representar las relaciones de intersección, inclusión y disyunción sin cambiar la posición relativa de los conjuntos

Intersección:

Dado que los conjuntos pueden tener elementos comunes, las regiones encerradas por sus líneas límite se superponen. El conjunto de los elementos que pertenecen simultáneamente a otros dos es la intersección de ambos.¹

A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}                                                       B = {1; 3; 5; 15}	z
A = {x | x es divisor natural de 12} B = {x | x es divisor natural de 15} U = {x | x es natural menor o igual que 16}

Inclusión:

Si todos los elementos de un conjunto son parte de los elementos de otro, se dice que el primero es un subconjunto del segundo o que está incluido en el segundo.¹ En los diagramas de Venn, todas las regiones de superposición posibles deben ser representadas. Y, cuando hay regiones que no contienen elementos (regiones vacías), la situación se indica anulándolas (con un color de fondo distinto).²

A = {1; 2; 3; 4; 6; 12} B = {1; 2; 3; 6} U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}
A = {x | x es divisor natural de 12} B = {x | x es divisor natural de 6} U = {x | x es natural menor o igual que 12}

Disyunción:

Cuando los conjuntos no tienen elementos comunes, la región de superposición queda vacía.

A = {2; 4; 6; 8} B = {1; 3; 5; 7; 9} U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
A = {x | x es par y de una cifra} B = {x | x es impar y de una cifra} U = {x | x es natural menor o igual que 10}

A la izquierda de los diagramas, las definiciones de los conjuntos por enumeración y por comprensión.

ORIGEN E HISTORIA

Los diagramas de Venn tienen el nombre de su creador, John Venn, matemático y filósofo británico.³ Estudiante y más tarde profesor del Caius College de laUniversidad de Cambridge, Venn desarrolló toda su producción intelectual en ese ámbito.⁴

Los diagramas que hoy conocemos fueron presentados en julio de 1880 en el trabajo titulado De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos, que tuvo gran repercusión en el mundo de la lógica formal. Los diagramas de Venn tienen varios antecedentes. La primera representación gráfica de deducciones lógicas —y, en particular, de silogismos— se atribuye comúnmente a Gottfried Leibniz. Variantes de la misma fueron empleadas luego por George Boole y Augustus De Morgan, pero fue el gran matemático suizo Leonhard Eulerquien primero introdujo una notación clara y sencilla.² El siguiente diagrama muestra de otro modo la relación de inclusión del ejemplo dado en la introducción.

diagrama de Euler

Los diagramas de Euler se distinguen de los de Venn en dos aspectos:

• en ellos no aparecen las regiones vacías y
• el conjunto universal no se representa.

Si bien fue Venn quien introdujo la expresión "universo del discurso", él nunca representó al universal en sus trabajos.³ Por eso la idea de conjunto universal se atribuye habitualmente a Charles Dodgson, más conocido como Lewis Carroll, el lógico y autor de cuentos para niños que popularizó el concepto de conjunto complementario.¹ El conjunto universal fue cuestionado por Bertrand Russell, quien mostró que con tal concepto la teoría de conjuntos resultaba inconsistente (véase paradoja). Sin embargo, dicha definición fue rescatada y aun justificada en una reciente extensión de los diagramas de Venn que distingue al universal del Todo (universo del discurso).⁶ Por las dos razones recién mencionadas, los diagramas de Venn llegaron a convertirse en el nuevo estándar para la formalización de operaciones lógicas y los sistemas de representación anteriores cayeron en desuso.²

Tiempo después de la aparición del primer artículo, Venn desarrolló algo más su nuevo sistema en el libro Lógica simbólica, publicado en 1881 y cuyo propósito era interpretar y revisar los trabajos de Boole en el campo de la lógica formal. Este libro sirvió sobre todo para presentar ejemplos del uso de los diagramas.⁷ Otro libro de Venn que ayudó a divulgar el nuevo sistema de representación fue el titulado Los principios de la lógica empírica o inductiva, publicado en 1889.⁸

La primera constancia escrita del uso de la expresión "diagrama de Venn" es muy tardía (1918) y se encuentra en el libro A Survey of Symbolic Logic de Clarence Irving Lewis.

Diagramas de Venn de enunciados

Como se mostró en la introducción, los diagramas de Venn pueden ser definidos por enumeración de sus elementos o por indicación de una característica común que los identifica unívocamente.¹ De ahí que haya dos tipos de diagramas de Venn: los que muestran elementos reunidos por líneas cerradas y los que simplemente muestran enunciados o conceptos. Estos últimos son más interesantes porque permiten operar de manera abstracta y llegar a conclusiones más generales.

Los siguientes diagramas del segundo tipo muestran los resultados de cuatro operaciones básicas con conjuntos usando el código del semáforo de dos colores.

¬A	A ∧ B	A ∨ B = ¬((¬A) ∧ (¬B))	A – B = A ∧ (¬B)

Como se desprende de las igualdades, con las dos primeras operaciones (negación y conjunción), es posible hacer las otras dos (disyunción y sustracción).

El código de dos colores puede ser interpretado en el sistema binario de numeración: rojo = 0; verde = 1. A los resultados de las operaciones se los puede entonces digitalizar. Y a los términos que participan de las operaciones, también. De este modo, las operaciones con conjuntos se convierten en operaciones con números.

Diagramas de Venn y cantidad de definiciones

Los siguientes diagramas muestran la cantidad de regiones en que queda dividido el conjunto universal con una, dos y tres definiciones.

1 conjunto (2 colores)	2 conjuntos (4 colores)	3 conjuntos (8 colores)

Entre los colores se cuenta el gris, que en todos los casos corresponde a los elementos que no caen en ninguna definición.

DIAGRAMA DE UN CONJUNTO

Tiene sólo 2 regiones: la de los elementos que responden a la definición A y la de los que se oponen a ella.¹

DIAGRAMA DE DOS CONJUNTOS

Tiene 4 regiones. Considérese el siguiente ejemplo: el conjunto A es el de los animales bípedos y el conjunto B es el de los animales que pueden volar. El área donde las dos regiones se superponen contiene por lo tanto a todos los animales que, al mismo tiempo, son bípedos y pueden volar. En resumen:

• A (regiones amarilla y verde): animales bípedos,
• B (regiones azul y verde): animales que pueden volar,
• A y B (región verde): animales bípedos que pueden volar,
• A y no B (región amarilla): animales bípedos que no pueden volar,
• no A y B (región azul): animales no bípedos (que no tienen dos patas) que pueden volar,
• no A y no B (región gris): animales no bípedos que no pueden volar,
• A o B (regiones amarilla, azul y verde): animales bípedos o que pueden volar.

Los pingüinos, que tienen dos patas y no pueden volar, están en la región amarilla; los mosquitos, que tienen seis patas y pueden volar, están en la región azul; los loros, que tienen dos patas y pueden volar, están en la región verde; las ballenas, que no tienen patas ni pueden volar, están en la región gris.

DIAGRAMA DE TRES CONJUNTOS

Tienen 8 regiones. Los diagramas de tres conjuntos fueron los más usados por Venn en toda su obra. Un ejemplo de aplicación podría ser el siguiente: dado un grupo de personas, A es el conjunto de las de sexo masculino, B el conjunto de las mayores de 18 años y C el conjunto de las que trabajan. De este modo, la región verde sería la de las personas de sexo masculino, mayores de 18 años, que no trabajan.

DIAGRAMAS DE MÁS DE TRES CONJUNTOS

La dificultad de representar más de tres conjuntos mediante diagramas de Venn es evidente. Venn sentía afición por los diagramas de más de tres conjuntos, a los que definía como "figuras simétricas, elegantes en sí mismas". A lo largo de su vida, diseñó varias representaciones usando elipses, y dejó indicaciones para la construcción de diagramas con cualquier cantidad de curvas, partiendo del diagrama de tres círculos.

DIAGRAMAS DE EDWARDS

Anthony William Fairbank Edwards propuso diagramas para más de tres conjuntos, proyectando el diagrama sobre una esfera. Tres conjuntos pueden ser representados fácilmente tomando tres hemisferios en ángulos rectos (x = 0, y = 0 y z = 0). Un cuarto conjunto puede ser representado tomando una curva similar a la juntura de una pelota de tenis que suba y baje alrededor del ecuador. Los conjuntos resultantes pueden ser proyectados de nuevo sobre el plano para mostrar diagramas de tipo engranaje, con cantidades cada vez mayores de dientes. Edwards ideó estos diagramas mientras diseñaba la ventana acristalada en memoria de Venn que hoy adorna el comedor del Caius College.¹⁵

Otros diagramas

Los diagramas de Edwards son topológicamente equivalentes a los diagramas diseñados por Branko Grünbaum, que se basan en la intersección de polígonos con cantidades crecientes de lados.^16 17 18 Phillip Smith ideó diagramas similares den conjuntos usando curvas senoidales con ecuaciones del tipo y = sen(2ⁱ x)/2ⁱ, 0 ≤ i ≤ n – 2. Por su parte, Lewis Carrolldiseñó un diagrama de cinco conjuntos.

                  

DIAGRAMAS DE VENN:

DIAGRAMA DE FLUJO

                                           DIAGRAMA DE FLUJO

El diagrama de flujo o diagrama de actividades es la representación gráfica delalgoritmo o proceso. Se utiliza en disciplinas como programación, economía,procesos industriales y psicología cognitiva.

En Lenguaje Unificado de Modelado (UML), un diagrama de actividades representa los flujos de trabajo paso a paso de negocio y operacionales de los componentes en un sistema. Un diagrama de actividades muestra el flujo de control general.

En SysML el diagrama de actividades ha sido extendido para indicar flujos entre pasos que mueven elementos físicos (p.ej., gasolina) o energía (p.ej., presión). Los cambios adicionales permiten al diagrama soportar mejor flujos de comportamiento y datos continuos.

Estos diagramas utilizan símbolos con significados definidos que representan los pasos del algoritmo, y representan el flujo de ejecución mediante flechas que conectan los puntos de inicio y de fin de proceso.

                          

INTRODUCCIÓN

Un Diagrama de Flujo representa la esquematización gráfica de un algoritmo, el cual muestra gráficamente los pasos o procesos a seguir para alcanzar la solución de un problema. Su correcta construcción es sumamente importante porque, a partir del mismo se escribe un programa en algún Lenguaje de Programación. Si el Diagrama de Flujo está completo y correcto, el paso del mismo a un Lenguaje de Programación es relativamente simple y directo.

Es importante resaltar que el Diagrama de Flujo muestra el sistema como una red de procesos funcionales conectados entre sí por "Tuberías" y "Depósitos" de datos que permite describir el movimiento de los datos a través del Sistema. Este describirá: Lugares de Origen y Destino de los datos, Transformaciones a las que son sometidos los datos, Lugares en los que se almacenan los datos dentro del sistema, Los canales por donde circulan los datos. Además de esto podemos decir que este es una representación particular de un Sistema, el cual lo contempla en términos de sus componentes indicando el enlace entre los mismos.

DIAGRAMA DE FLUJO

Es un esquema para representar gráficamente un algoritmo. Se basan en la utilización de diversos símbolos para representar operaciones específicas, es decir, es la representación grafica de las distintas operaciones que se tienen que realizar para resolver un problema, con indicación expresa el orden lógico en que deben realizarse.

Se les llama diagramas de flujo porque los símbolos utilizados se conectan por medio de flechas para indicar la secuencia de operación. Para hacer comprensibles los diagramas a todas las personas, los símbolos se someten a una normalización; es decir, se hicieron símbolos casi universales, ya que, en un principio cada usuario podría tener sus propios símbolos para representar sus procesos en forma de Diagrama de flujo. Esto trajo como consecuencia que sólo aquel que conocía sus símbolos, los podía interpretar. La simbología utilizada para la elaboración de diagramas de flujo es variable y debe ajustarse a un patrón definido previamente.

El diagrama de flujo representa la forma más tradicional y duradera para especificar los detalles algorítmicos de un proceso. Se utiliza principalmente en programación, economía y procesos industriales.

IMPORTANCIA DE LOS DIAGRAMAS DE FLUJO

Los diagramas de flujo son importantes porque nos facilita la manera de representar visualmente el flujo de datos por medio de un sistema de tratamiento de información, en este realizamos un análisis de los procesos o procedimientos que requerimos para realizar un programa o un objetivo.

Por ejemplo: si nosotros queremos realizar una pizza, primero necesitamos los ingredientes, este ya seria un proceso, luego de haber conseguido los ingredientes necesitamos realizar la masa, este seria otro proceso, luego realizamos la salsa, este seria otro procesos y finalmente unimos todo lo que hemos hecho y agregamos los complemento como el jamón, el queso, etc. Para la realización de esta pizza ya contamos con 4 procesos los cual podemos desarrollar en un diagrama de flujo y unirlos en el mismo. Para así obtener un producto final que seria nuestra pizza.

SÍMBOLOS UTILIZADOS EN LOS DIAGRAMAS DE FLUJO

Este se utiliza para representar el inicio o el fin de un algoritmo. También puede representar una parada o una interrupción programada que sea necesaria realizar en un programa.

Este se utiliza para un proceso determinado, es el que se utiliza comúnmente para representar una instrucción, o cualquier tipo de operación que origine un cambio de valor.

Este símbolo es utilizado para representar una entrada o salida de información, que sea procesada o registrada por medio de un periférico.

Este es utilizado para la toma de decisiones, ramificaciones, para la indicación de operaciones lógicas o de comparación entre datos.

Este es utilizado para enlazar dos partes cualesquiera de un diagrama a través de un conector de salida y un conector de entrada. Esta forma un enlace en la misma página del diagrama.

Este es utilizado para enlazar dos partes de un diagrama pero que no se encuentren en la misma pagina.

PROBLEMAS RESUELTOS CON DIAGRAMAS DE FLUJO

1. Determinar si 2 números son iguales o diferentes, si son diferentes determinar cual de los 2 es el mayor.
   
2. Cambiar un Caucho desinflado de un Automóvil.

MÉTODO DE ORDENACIÓN POR BURBUJA

El método de ordenación por burbuja es un algoritmo de ordenamiento, que funciona revisando cada elemento de la lista que va a ser ordenada con el siguiente, e intercambiándolos de posición si esta está en el orden erróneo. Es estrictamente necesario realizar este proceso varias veces de modo que no necesite mas intercambios, hasta que este ordenada. En este método de ordenación se realiza el intercambio entre los más grandes y los mas pequeños (los más grandes quedan arriba y los pequeños abajo). Estos intercambios suceden en dos ciclos un ciclo que es interno que realiza las comparaciones y se asegura de que en la primera revisión que los elementos mas grandes suban a la posición más alta, y el otro ciclo que es un poco mas externo se encarga de realizar las revisiones.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MÉTODO DE ORDENACIÓN POR BURBUJA

Ventajas:

• Es bastante sencillo y el más utilizado por su fácil comprensión y programación.
• En un código reducido se realiza el ordenamiento.
• Eficaz.

Desventajas:

• Es el más ineficiente de todos los métodos.
• Consume bastante tiempo de computadora.
• Requiere de muchas lecturas/escrituras en memoria.

MÉTODOS DE BÚSQUEDA

La búsqueda es una operación que tiene por objeto la localización de un elemento dentro de la estructura de datos. A menudo un programador estará trabajando con grandes cantidades de datos almacenados en arreglos y pudiera resultar necesario determinar si un arreglo contiene un valor que coincide con algún valor clave o buscado.

Siendo el array de una dimensión o lista una estructura de acceso directo y a su vez de acceso secuencial, encontramos dos técnicas que utilizan estos dos métodos de acceso, para encontrar elementos dentro de un array: búsqueda secuencial y búsqueda binaria.

Búsqueda Secuencial:

La búsqueda secuencial es la técnica más simple para buscar un elemento en un arreglo. Consiste en recorrer el arreglo elemento a elemento e ir comparando con el valor buscado (clave). Se empieza con la primera casilla del arreglo y se observa una casilla tras otra hasta que se encuentra el elemento buscado o se han visto todas las casillas. El resultado de la búsqueda es un solo valor, y será la posición del elemento buscado o cero. Dado que el arreglo no está en ningún orden en particular, existe la misma probabilidad de que el valor se encuentra ya sea en el primer elemento, como en el último. Por lo tanto, en promedio, el programa tendrá que comparar el valor buscado con la mitad de los elementos del arreglo.

El método de búsqueda secuencial funciona bien con arreglos pequeños o para arreglos no ordenados. Si el arreglo está ordenado, se puede utilizar la técnica de alta velocidad de búsqueda binaria, donde se reduce sucesivamente la operación eliminando repetidas veces la mitad de la lista restante.

• Ventajas.
• 1. Es eficiente cuando un arreglo no esta ordenado es la única manera en la que se puede emplear.
• Desventajas.
• 1. Es muy lento.
  2. Requiere mucho tiempo, debido a que se comparan uno a uno.
  Búsqueda Binaria
  La búsqueda binaria es el método más eficiente para encontrar elementos en un arreglo ordenado. El proceso comienza comparando el elemento central del arreglo con el valor buscado. Si ambos coinciden finaliza la búsqueda. Si no ocurre así, el elemento buscado será mayor o menor en sentido estricto que el central del arreglo. Si el elemento buscado es mayor se procede a hacer búsqueda binaria en el subarray superior, si el elemento buscado es menor que el contenido de la casilla central, se debe cambiar el segmento a considerar al segmento que está a la izquierda de tal sitio central.
• Ventajas.
• 1. Es muy eficiente para realizar búsquedas en arreglos ordenados.
• Desventajas.
• 1. Requiere mucho tiempo en caso de que sean muchos los valores que contenga el vector, debido a que este lo recorre todo para encontrar el centro.
  
  

  DIFERENCIAS FUNDAMENTALES ENTRE LOS MÉTODOS DE BÚSQUEDA SECUENCIAL Y BINARIO

  El método secuencial y el método binario se diferencian porque el método secuencial realiza una búsqueda casilla por casilla y comparándolas con el valor que se desea, y el método binario realiza una búsqueda directa en el centro del arreglo y la compara con el valor deseado.
  En el caso del método de búsqueda binaria, los arreglos deben estar únicamente ordenados, como se planteo anteriormente, por su parte el método de búsqueda secuencial o lineal, puede emplearse tanto en arreglos pequeños, como en aquellos que no están ordenados.
  En segundo orden, podemos ver que el método de búsqueda binaria, es el método más eficiente para encontrar elementos en un arreglo ordenado, lo contrario sucede con el método de búsqueda secuencial ya que este es muy lento, pero si los datos no están en orden es el único método que puede emplearse para hacer las búsquedas.

  CONCLUSIÓN

  El diagrama de flujo es uno de los principales instrumentos en la realización de cualquier método o sistema, ellos permiten la visualización de las actividades innecesarias y verifica si la distribución del trabajo está equilibrada.
  El método de Ordenación por burbuja es la técnica más utilizada por su fácil comprensión y programación aunque consume bastante tiempo de computadora.
  En cuanto a la técnica de ordenación por el método de burbuja, consiste en hacer varias pasadas a través del array. En cada pasada, se comparan parejas sucesivas del elemento. Si una pareja esta en orden creciente (o los valores son idénticos), se dejan los valores como están. Si una pareja esta en orden decreciente, sus valores se intercambian en el array.
  El método de búsqueda secuencial compara cada elemento del vector con el valor a encontrar hasta que este se consiga o se termine de leer el vector completo.
  El método de búsqueda binaria es uno de los métodos eficientes para encontrar elementos de un arreglo ordenado. El proceso comienza comparando el elemento central del arreglo con el valor buscado.
  Es fácil adaptar la búsqueda secuencial para que utilice una lista enlazada ordenada, lo que hace la búsqueda más eficaz. Es fácil mantener el orden insertado cada registro en el lugar donde termina una búsqueda sin éxito y cada búsqueda termina cuando se encuentra un registro con una clave no menor que la clave de búsqueda.

  RECOMENDACIONES

  Para la realización de un diagrama de flujo debemos tener el análisis lógico de lo que se quiere expresar o representar, es decir, hacer un breve razonamiento al problema o a dicha situación para luego ser representada en diagrama de flujo. Además de que los diagramas de flujo deben escribirse de arriba hacia abajo, y de izquierda a derecha. Debemos conocer bien los conectores y símbolos que son utilizados en la resolución de problemas ya sea para conocer el comienzo o el fin del diagrama y saber como fluye la solución del problema. Realizar los símbolos y unirlos con líneas, las cuales tienen en la punta una flecha que indica la dirección que fluye la información de los procesos, se deben utilizar solamente líneas de flujos horizontales o verticales, pero nunca diagonales.
  Nunca deben quedar líneas de flujo sin conectar. Todo texto escrito dentro de un símbolo debe ser legible, preciso, evitando el uso de muchas palabras. Utilizar y asignar valores que sean precisos ya que no se deben de admitir ambigüedades en la realización de los diagramas. Tratar de que el procedimiento sea genérico para que pueda ser usado con cualquier tipo de valor numérico. Tener en cuenta que el símbolo para las operaciones de asignación en este caso el rectángulo y cualquier símbolo de entrada y salida puedan ser precedidos de una o varias flechas, pero solo pueden ser seguidos por una. Las flechas de flujo no deben cruzarse.
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Leer más: http://www.monografias.com/trabajos59/diagrama-flujo/diagrama-flujo2.shtml#xprobl#ixzz3LYdGxvEl

COMO HACER UN DIAGRAMA DE FLUJO